Kwantyfikatory nie są może pojęciem używanym na co dzień ani jedną z rzeczy, które dzięki procesowi edukacji zapamiętamy na całe życie, ale większość z nas spotkała się z nimi, w teorii lub praktyce na lekcji matematyki w szkole albo na zajęciach z logiki formalnej i semiotyki podczas kształcenia akademickiego.
Kwantyfikatory to jedno z podstawowych pojęć w matematyce i logice. Pozwalają na tworzenie formuł, czyli zdań logicznych. Za pomocą kwantyfikatorów oznaczamy zwroty: „dla każdego”, „istnieje takie”, „dla pewnego x” itp. Kwantyfikatory wyrażone za pomocą zdań mają swoje odpowiedniki w postaci konkretnych symboli. Stanowią nierozerwalny element definicji i twierdzeń matematycznych.
SPIS TREŚCI
Zdania logiczne
Definicję pojęcia zdań logicznych warto rozpocząć od informacji, że zdania takie mogą być rozpatrywane w kategoriach prawdy i fałszu. Chodzi więc tu właściwie tylko o zdania oznajmujące, co do których możemy stwierdzić: „To jest zdanie prawdziwe” albo „Powyższe zdanie jest zdaniem fałszywym”.
Wartość logiczna zdania to stwierdzenie, iż dane zdanie to prawda (oznaczamy najczęściej jako 1) albo fałsz (najczęściej oznacza się go jako 0). Zdaniem prawdziwym będzie np.: „Warszawa jest stolicą Polski”. Przykład pokazujący zdanie fałszywe to: „Trzy jest równe zero”.
W zadaniach, w których należy ocenić i wskazać, jaka jest wartość logiczna przykładowych zdań, najczęściej pojawia się zdanie prawdziwe, zdanie fałszywe, a także zdanie, którego w ogóle nie możemy ocenić pod kątem prawdziwości, np. pytanie („Czy pingwin potrafi skakać?”). Jak już wspomnieliśmy, sens logiczny mają na ogół zdania oznajmujące, czyli twierdzenia.
Kwantyfikator ogólny a kwantyfikator szczegółowy
Kwantyfikatorem ogólnym, dużym lub uniwersalnym nazywamy zdanie odnoszące się do ogółu typu: „dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych”. Kwantyfikator ogólny oznaczany jest konkretnym symbolem ∀ (lub ⋀), rzadziej oznacza się go za pomocą symbolu x. W opisowym języku logiki i programowania kwantyfikator ten opisywany jest za pomocą formuły „forall x”.
Kwantyfikatorem szczegółowym, małym lub egzystencjalnym nazywamy zdanie odnoszące się do konkretu typu: „dla y należącego do zbioru liczb rzeczywistych”. Za wyrażenie równoważne do wymienionego w przykładzie oznacza się zwrot: „istnieje takie x, że…”. Mówimy tu o wyrażeniu wiążącym zmienną x. Kwantyfikator szczegółowy oznacza się konkretnym symbolem ∃ (lub ⋁), rzadziej za pomocą symbolu Ex.
Pod symbolem odnoszącym się do danego kwantyfikatora zawsze wpisuje się zakres, do którego odnosi się dany kwantyfikator, a wartość wyrażoną w tym miejscu nazywamy zmienną związaną. Zakres wyrażony zmienną związaną definiujemy jako zasięg.
Kwantyfikowanie
Wśród wyrażeń matematycznych możemy wyróżnić formy zdaniowe, np. (x*x)-2=0. Dzięki zastosowaniu kwantyfikatora do jakiejś formy zdaniowej możemy otrzymać inną formę zdaniową lub nowe zdanie. Proces ten to tzw. kwantyfikowanie, czyli funkcja wykorzystująca jeden argument. Jej wartości stanowią właśnie zdania lub formy zdaniowe.
W przypadku podanego powyżej przykładu zastosowanie kwantyfikatora ogólnego spowoduje utworzenie zdania fałszywego, natomiast zastosowanie kwantyfikatora szczegółowego spowoduje utworzenie zdania prawdziwego.
Jakie może być wyrażenie opisane za pomocą kwantyfikatorów?
Można wskazać charakterystyczne wyrażenia, w których używa się kwantyfikatorów, na przykład:
- dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych (tak czytamy wyrażenie: ∀ x ∈ R, w opisowym języku logiki i formułowania stosujemy formułę: „x in R”);
- dla każdego x należącego do zbioru liczb całkowitych (w ten sposób czytamy wyrażenie: x ∈ Z, poprzedzone kwantyfikatorem ∀);
- dla każdego x należącego do zbioru liczb naturalnych (słowne znaczenie wyrażenia: ∀ x ∈ N);
- dla każdego x, które jest większe od 2 (czytamy wyrażenie: ∀ x > 2);
- dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych, które jest jednocześnie większe od zera (czytamy wyrażenie: ∀ x ∈ R x > 0);
- istnieje x należący do zbioru liczb rzeczywistych (tak czytamy wyrażenie: ∃ x ∈ R);
- istnieje n należący do zbioru liczb naturalnych (w ten sposób czytamy wyrażenie: n ∈ N, poprzedzone kwantyfikatorem ∃);
- istnieje x należący do przedziału (2, 4) – czytamy wyrażenie: x ∈ (2, 4).
Zmienna występująca w takich wyrażeniach najczęściej wyrażana jest za pomocą literowych symboli, na przykład: x, y. Jak już wspomniano, kolejność użytych symboli jest następująca: zapisujemy symbol ∀, a pod nim zakres, do którego zastosowany przez nas symbol się odnosi.
Zaprzeczenie zdania zawierającego kwantyfikatory
Wiemy, że zdania logiczne możemy określać jako prawdziwe lub nieprawdziwe. Często jednak zachodzi potrzeba wykazania tego, że dane wyrażenie, równanie, funkcja są prawdziwe lub nie. Przeprowadza się wówczas postępowanie określane jako dowód logiczny. Jedną z metod przeprowadzania dowodu logicznego jest odwołanie się do tzw. praw logicznych. Z kolei jedno z tych praw wykorzystuje zaprzeczenie jako metodę przeprowadzenia dowodu logicznego.
Spójrzmy na przykład. Zdanie: „Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną” to zdanie prawdziwe. Zaprzeczenie tego wyrażenia, czyli zdanie: „Istnieje liczba rzeczywista, która po podniesieniu do kwadratu będzie liczbą ujemną”, powoduje utworzenie twierdzenia fałszywego.
Prawa logiczne
Prawa logiczne to zdania, które zawsze pozostają zdaniami prawdziwymi, niezależnie od wartości logicznej zastosowanych w nich zmiennych. W prawach logicznych używa się następujących pojęć:
- koniunkcja: zdanie złożone o postaci „p i q”, gdzie p i q oznaczają zdanie logiczne. Koniunkcja zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba człony są prawdziwe;
- negacja: inaczej zaprzeczenie, zdanie, w którym zdaniu p przypisuje się zdanie nie p (czytamy: „to nieprawda, że p” lub: „nie jest tak, że p”). Jeśli p jest zdaniem prawdziwym, jego negację uważa się za fałszywą. Jeśli p jest fałszywe, negację uważa się za prawdziwą;
- alternatywa: zdanie logiczne o postaci „p lub q”, które można nazwać zdaniem prawdziwym, gdy przynajmniej jeden z jego członów jest prawdziwy.
Do najbardziej znanych i najchętniej stosowanych praw należą tzw. prawa De Morgana. Wśród nich wyróżniamy:
- prawo zaprzeczania koniunkcji: „negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji”;
- prawo zaprzeczania alternatywy: „negacja alternatywy jest równa koniunkcji negacji”.
Prawa te wykorzystywane są w logice matematycznej i teorii mnogości.
Rzadziej spotykane typy kwantyfikatorów
Dużo rzadziej używa się tzw. kwantyfikatorów drugiego rzędu, w których stwierdza się, że „istnieje dużo elementów takich, że…” albo „prawie wszystkie elementy (np. zbioru liczb rzeczywistych) są takie, że…”. W matematyce stosuje się też pojęcie kwantyfikatorów ograniczonych, czyli odnoszących się tylko do pewnych określonych przedziałów liczbowych. W przypadku takich kwantyfikatorów w łatwiejszy sposób można przeprowadzić dowód logiczny.
W logikach innych niż klasyczna (np. modalnych czy temporalnych) mówi się także o kwantyfikatorach, które wyrażają niestandardowe wartości zmiennych. Pojęcia te są stosowane w tekstach wysoko specjalistycznych.
Jeśli potrzebujesz tłumaczenia takiego tekstu specjalistycznego, nie tylko z zakresu logiki czy matematyki stosowanej, skontaktuj się z nami. Możemy przygotować ofertę dostosowaną do Twoich potrzeb i specyfiki przekładanego tekstu.
